试题

题目：
如图，Rt△ABO的边OB在x轴上，且∠ABO=90°，AB：BO=3：4，点A刚好落在双曲线y=
48
x
上．青果学院
（1）求点A的坐标；
（2）以O为位似中心，在y轴的右侧按1：2的比例画出△ABO缩小后的位似图形△A′B′O，点A对应点记为A′，点B的对应点记为B′；
（3）试在x轴上确定点P的坐标，使以A′、B′、P为顶点的三角形与△ABO相似，写出计算过程．
答案
解：（1）∵AB：BO=3：4，且OB=xA，AB=yA，
∴yA=3k，xA=4k，
∵点A在双曲线y=
48
x
上，
∴12k2=48，
解得：k=±2，
∵如图点A在第一象限，
∴xA=8，yA=6，
∴点A的坐标为（8，6）．
（2）
青果学院
（3）∵点P在x轴上，
∴∠A'B'P=∠ABO=90°，
青果学院
要使以A'、B'、P为顶点的三角形与△ABO相似，还需
A′B′
AB
=
B′P
OB
或
A′B′
BO
=
B′P
AB
，
由第（1）小题可得AB=6，BO=8，
由第（2）小题可得，A'B'=3，A'（4，3），B'（4，0），
①当
A′B′
AB
=
B′P
OB
时，
3
6
=
B′P
8
，
解得：B'P=4，
则点P的坐标为（0，0）或（8，0）；
②当
A′B′
BO
=
B′P
AB
时，
3
8
=
B′P
6
，
解得：B'P=
9
4
，
则|xP-xB'|=
9
4
，即|xP-4|=
9
4
，
解得：xP=
7
4
或xP=
25
4
，
则点P的坐标为（
7
4
，0）或（
25
4
，0），
综上可得点P的坐标为（0，0）或（8，0）或（
7
4
，0）或（
25
4
，0）可使以A'、B'、P为顶点的三角形与△ABO相似．
解：（1）∵AB：BO=3：4，且OB=xA，AB=yA，
∴yA=3k，xA=4k，
∵点A在双曲线y=
48
x
上，
∴12k2=48，
解得：k=±2，
∵如图点A在第一象限，
∴xA=8，yA=6，
∴点A的坐标为（8，6）．
（2）
青果学院
（3）∵点P在x轴上，
∴∠A'B'P=∠ABO=90°，
青果学院
要使以A'、B'、P为顶点的三角形与△ABO相似，还需
A′B′
AB
=
B′P
OB
或
A′B′
BO
=
B′P
AB
，
由第（1）小题可得AB=6，BO=8，
由第（2）小题可得，A'B'=3，A'（4，3），B'（4，0），
①当
A′B′
AB
=
B′P
OB
时，
3
6
=
B′P
8
，
解得：B'P=4，
则点P的坐标为（0，0）或（8，0）；
②当
A′B′
BO
=
B′P
AB
时，
3
8
=
B′P
6
，
解得：B'P=
9
4
，
则|xP-xB'|=
9
4
，即|xP-4|=
9
4
，
解得：xP=
7
4
或xP=
25
4
，
则点P的坐标为（
7
4
，0）或（
25
4
，0），
综上可得点P的坐标为（0，0）或（8，0）或（
7
4
，0）或（
25
4
，0）可使以A'、B'、P为顶点的三角形与△ABO相似．
考点梳理
反比例函数综合题．
（1）根据题意可设点A的坐标为（4k，3k），将点A代入反比例函数解析式可得出k的值，继而可得出点A的坐标；
（2）根据位似中心为点O，可作出y轴右侧的位似图形．
（3）根据（2）可得∠A'B'P=90°，要想使以A′、B′、P为顶点的三角形与△ABO相似需要满足
A′B′
AB
=
B′P
OB
或
A′B′
BO
=
B′P
AB
，分类讨论可得出点P的坐标．
此题属于反比例函数的综合题，涉及了反比例函数上点的坐标特点，位似作图、相似三角形的判定与性质，综合性较强，解答本题需要同学们熟练各个知识点，并能将各知识点融会贯通．
综合题．
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