试题

已知如图，四边形ABOC为矩形，AB=4，AC=6，一次函数经过B点与反比例函数交于D点，与x轴交于E点，且D为AC的中点．
①求点D和点E的坐标；
②求一次函数和反比例函数的解析式；
③在x轴上是否存在点P，使△PBD的周长最小？若存在，求出点P的坐标和△PBD的周长；若不存在，请说明理由．

解：①∵AC=6，D为AC的中点，
∴CD=3，
∵AB=OC=4，
∴点D的坐标为（4，3），
在△ABD与△ECD中，

∠A=∠DCE AD=CD ∠BDA=∠EDA

，
∴△ABD≌△ECD（ASA），
∴CE=AB=4，
∴点E的坐标为（8，0），
②∵OB=AC=6，
∴点B的坐标为（0，6）
设一次函数的解析式为y=k₁x+b，
∵经过点B和点E，
∴

b=6 8k+b=0

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
∴一次函数的解析式为y=-

3

4

x+6，
设反比例函数的解析式为y=

k2

x

，
∵经过点D（4，3），
∴k₂=3×4=12，
∴反比例函数的解析式为y=

12

x

；
③△PBD中，BD恒等于10，要使△PBD周长最小，即要使BP+PD最小．
如图，作D关于x轴对称点D′，连BD′交x轴于点P，连PD，此时，△PBD周长最小．
∵D（4，3），
∴D'（4，-3），
∴AB=4，AD′=9，
∴由勾股定理得BD′=

42+92

=

97

，
∵AD′∥BO，
∴△OBP∽△CD′P，
∴

PO

PC

=

PB

PD′

=

CD′

BO

，
即：

PO

PC

=

2

1

，
∵OC=4，
∴PO=

2

3

OC=

8

3

，
∴点P的坐标为（

8

3

，0）．
此时△PBD的周长为BD+BD′=5+

97

．
解：①∵AC=6，D为AC的中点，
∴CD=3，
∵AB=OC=4，
∴点D的坐标为（4，3），
在△ABD与△ECD中，

∠A=∠DCE AD=CD ∠BDA=∠EDA

，
∴△ABD≌△ECD（ASA），
∴CE=AB=4，
∴点E的坐标为（8，0），
②∵OB=AC=6，
∴点B的坐标为（0，6）
设一次函数的解析式为y=k₁x+b，
∵经过点B和点E，
∴

b=6 8k+b=0

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
∴一次函数的解析式为y=-

3

4

x+6，
设反比例函数的解析式为y=

k2

x

，
∵经过点D（4，3），
∴k₂=3×4=12，
∴反比例函数的解析式为y=

12

x

；
③△PBD中，BD恒等于10，要使△PBD周长最小，即要使BP+PD最小．
如图，作D关于x轴对称点D′，连BD′交x轴于点P，连PD，此时，△PBD周长最小．
∵D（4，3），
∴D'（4，-3），
∴AB=4，AD′=9，
∴由勾股定理得BD′=

42+92

=

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，
∵AD′∥BO，
∴△OBP∽△CD′P，
∴

PO

PC

=

PB

PD′

=

CD′

BO

，
即：

PO

PC

=

2

1

，
∵OC=4，
∴PO=

2

3

OC=

8

3

，
∴点P的坐标为（

8

3

，0）．
此时△PBD的周长为BD+BD′=5+

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．