试题

题目：
观察下列各图，第①个图中有1个三角形，第②个图中有3个三角形，第③个图中有6个三角形，…
（1）根据这规律可知第④个图中有多少个三角形？第n个图中有多少个三角形？（用含正整数n的式子表示）；
（2）在（1）中是否存在一个图形，该图形中共有29个三角形？请通过计算说明．
青果学院
答案
解：（1）观察图形知第一个图形有
2×(2-1)
2
个三角形；
第二个图形有
3×(3-1)
2
=3个三角形；
第三个图形有
4×(4-1)
2
=6个三角形；
∴第④个有
5×(5-1)
2
=10个三角形；
第n个有
n(n+1)
2
个三角形；
（2）令
n(n+1)
2
=29，
∵得不到这样的正整数n，
∴不存在这样的图形．
解：（1）观察图形知第一个图形有
2×(2-1)
2
个三角形；
第二个图形有
3×(3-1)
2
=3个三角形；
第三个图形有
4×(4-1)
2
=6个三角形；
∴第④个有
5×(5-1)
2
=10个三角形；
第n个有
n(n+1)
2
个三角形；
（2）令
n(n+1)
2
=29，
∵得不到这样的正整数n，
∴不存在这样的图形．
考点梳理
一元二次方程的应用．
（1）第一个图形有
2×(2-1)
2
个三角形；第二个图形有
3×(3-1)
2
=3个三角形；第三个图形有
4×(4-1)
2
=6个三角形；从而得到第④个有
5×(5-1)
2
=10个三角形；第n个有
n(n+1)
2
个三角形；
（2）令
n(n+1)
2
=29，求得n为正整数即可．
本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是得到有关三角形个数的规律．
几何图形问题．
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