试题

如图，要设计一个矩形的花坛，花坛长60m，宽40m，有两条纵向甬道和一条横向甬道，横向甬道的两侧有两个半圆环形甬道，半圆环形甬道的内半圆的半径为10m，横向甬道的宽度是其它各甬道宽度的2倍．设横向甬道的宽为2x m．（π的值取3）
（1）用含x的式子表示两个半圆环形甬道的面积之和；
（2）当所有甬道的面积之和比矩形面积的

1

5

多36m²时，求x的值；
（3）根据设计的要求，x的值不能超过3m．如果修建甬道的总费用（万元）与x（m）成正比例关系，比例系数是7.59，花坛其余部分的绿化费用为0.03万元/m²，那么x为何值时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？

解：（1）两个半圆环形甬道的面积=π（10+x）²-π×10²=3x²+60x（m²）；

（2）依题意，得40×x×2+60×2x-2x²×2+3x²+60x=

1

5

×60×40+36，
整理，得x²-260x+516=0，
解得x₁=2，x₂=258（不符合题意，舍去）．
∴x=2；

（3）设建设花坛的总费用为y万元，则
y=0.03×[60×40-（-x²+260x）]+7.59x
=0.03x²-0.21x+72．
∴当x=-

b

2a

=

0.21

2×0.03

=3.5时，y的值最小．
因为根据设计的要求，x的值不能超过3，
∴当x=3时，总费用最少．
最少费用为y=0.03×3²-0.21×3+72=71.64（万元）．
解：（1）两个半圆环形甬道的面积=π（10+x）²-π×10²=3x²+60x（m²）；

（2）依题意，得40×x×2+60×2x-2x²×2+3x²+60x=

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5

×60×40+36，
整理，得x²-260x+516=0，
解得x₁=2，x₂=258（不符合题意，舍去）．
∴x=2；

（3）设建设花坛的总费用为y万元，则
y=0.03×[60×40-（-x²+260x）]+7.59x
=0.03x²-0.21x+72．
∴当x=-

b

2a

=

0.21

2×0.03

=3.5时，y的值最小．
因为根据设计的要求，x的值不能超过3，
∴当x=3时，总费用最少．
最少费用为y=0.03×3²-0.21×3+72=71.64（万元）．