试题

请阅读下列材料：问题：已知方程x²+15x-1=0，求一个一元二次方程，是它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程根为y，则y=2x，所以x=

y

2

，把x=

y

2

带人已知方程，得(

y

2

)2+15

y

2

-1=0，化简得y²+30y-4=0．故所求的方程为y²+30y-4=0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的换根法求新方程（要求把方程化为一般形式）：
（1）已知方程x²+x-2=0，求一个一元二次方程．是它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为：．
（2）已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．

解：（1）设所求方程的根为y，则y=-x所以x=-y．
把x=-y代入已知方程，得y²-y-2=0，
故所求方程为y²-y-2=0；

（2）设所求方程的根为y，则y=

1

x

（x≠0），于是x=

1

y

（y≠0）
把x=

1

y

代入方程ax²+bx+c=0，得a（

1

y

）²+b·

1

y

+c=0
去分母，得a+by+cy²=0．
若c=0，有ax²+bx=0，即x（ax+b）=0，
可得有一个解为x=0，不符合题意，因为题意要求方程ax²+bx+c=0有两个不为0的根．
故c≠0，
故所求方程为cy²+by+a=0（c≠0）．