试题

用12m长的一根铁丝围成长方形．
（1）如果长方形的面积为5m²，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？如果面积是8m²呢？
（2）能否围成面积是10m²的长方形？为什么？
（3）能围成的长方形的最大面积是多少？

解：设长方形的宽为xm则长为

12-2x

2

m，即为（6-x）m，则6-x≥x，得0＜x≤3
（1）根据题意，得x（6-x）=5，即 x²-6x+5=0，x₁=1，x₂=5（舍去）．
∴当长方形的宽为1m，长为6-1=5 m时，面积为5m²．
同样，当面积为8 m²时，有x（6-x）=8，即 x²-6x+8=0，x₁=2，x₂=4（舍去）．
∴当长方形的宽为2m，长为6-2=4 m时，面积为8 m²．
（2）当面积为10 m²时，x（6-x）=10，即 x²-6x+10=0，此时b²-4ac=36-40=-4＜0，故此方程无实数根．
所以这样的长方形不存在．
（3）设围成的长方形面积为k，则有x（6-x）=k．即 x²-6x+k=0，要使该方程有解，必须（-6）²-4k≥0，即k≤9
∴最大的k只能是9，即最大的面积为9 m²，此时x=3m，6-x=3m，这时所围成的图形是正方形．
解：设长方形的宽为xm则长为

12-2x

2

m，即为（6-x）m，则6-x≥x，得0＜x≤3
（1）根据题意，得x（6-x）=5，即 x²-6x+5=0，x₁=1，x₂=5（舍去）．
∴当长方形的宽为1m，长为6-1=5 m时，面积为5m²．
同样，当面积为8 m²时，有x（6-x）=8，即 x²-6x+8=0，x₁=2，x₂=4（舍去）．
∴当长方形的宽为2m，长为6-2=4 m时，面积为8 m²．
（2）当面积为10 m²时，x（6-x）=10，即 x²-6x+10=0，此时b²-4ac=36-40=-4＜0，故此方程无实数根．
所以这样的长方形不存在．
（3）设围成的长方形面积为k，则有x（6-x）=k．即 x²-6x+k=0，要使该方程有解，必须（-6）²-4k≥0，即k≤9
∴最大的k只能是9，即最大的面积为9 m²，此时x=3m，6-x=3m，这时所围成的图形是正方形．