试题

题目：
已知xy+x+y=71，x2y+xy2=880，x，y为自然数，则x2+y2=
2993或146
2993或146
．
答案
2993或146

解：∵xy+x+y=71，x2y+xy2=880，
∴xy（x+y）=880，xy+（x+y）=71，
∴x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解，
解得t=55或16，
∴x+y=55、xy=16或x+y=16、xy=55，
①当x+y=55、xy=16时，x2+y2=（x+y）2-2xy=552-2×16=2993；
②当x+y=16、xy=55时，x2+y2=（x+y）2-2xy=162-2×55=146．
故答案为：2993或146．
考点梳理
一元二次方程的应用；因式分解的应用．
将xy+x+y=71，x2y+xy2=880稍作变化，变为xy+（x+y）=71，xy（x+y）=880．此时x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解．解出该方程的解即为x+y，xy的值．再将x+y，xy代入x2+y2=（x+y）2-2xy求值即可．
本题考查因式分解的应用、一元二次方程．解决本题的关键是将x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解，解出t即可知x+y、xy的值．
转化思想；因式分解．
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