试题

如图，直线y=2x-6与反比例函数y=

k

x

(x＞0)的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线y=2x-6与反比例函数y=

k

x

(x＞0)的图象交于点A（4，2），
∴xy=k=2×4=8，
∴k=8，
当y=0时，0=2x-6，
解得x=3，
∴B点坐标为：B（3，0）；

（2）∵A（4，2），B（3，0），
∴AB=

5

，
当AB=BC₁=

5

时，
∴OC₁=3-

5

，
∴C₁坐标为：（3-

5

，0）；
当AB=BC₂=

5

时，
∴OC₂=5，
∴C₂坐标为：（5，0）；
当AB=BC₃=

5

时，
∴OC₃=3+

5

，
∴C₃坐标为：（3+

5

，0）；
当C点在AB的垂直平分线上时，
则AC=BC，
过点A作AE⊥x轴于点E，
∴AE=2，BE=4-3=1，
则EC=AC-BE=AC-1，
在Rt△AEC中
AE²+EC²=AC²，
∴2²+（AC-1）²=AC²，
解得：AC=2.5，
∴BC=2.5，
∴C点坐标为：（5.5，0），
综上所述：C点的坐标为(5，0)；(3-

5

，0)；(3+

5

，0)；(5.5，0)．
解：（1）∵直线y=2x-6与反比例函数y=

k

x

(x＞0)的图象交于点A（4，2），
∴xy=k=2×4=8，
∴k=8，
当y=0时，0=2x-6，
解得x=3，
∴B点坐标为：B（3，0）；

（2）∵A（4，2），B（3，0），
∴AB=

5

，
当AB=BC₁=

5

时，
∴OC₁=3-

5

，
∴C₁坐标为：（3-

5

，0）；
当AB=BC₂=

5

时，
∴OC₂=5，
∴C₂坐标为：（5，0）；
当AB=BC₃=

5

时，
∴OC₃=3+

5

，
∴C₃坐标为：（3+

5

，0）；
当C点在AB的垂直平分线上时，
则AC=BC，
过点A作AE⊥x轴于点E，
∴AE=2，BE=4-3=1，
则EC=AC-BE=AC-1，
在Rt△AEC中
AE²+EC²=AC²，
∴2²+（AC-1）²=AC²，
解得：AC=2.5，
∴BC=2.5，
∴C点坐标为：（5.5，0），
综上所述：C点的坐标为(5，0)；(3-

5

，0)；(3+

5

，0)；(5.5，0)．