试题

（2011·嘉兴模拟）过反比例函数图象上一点P₀（1，2ⁿ）作图象的切线（与图象只有一个交点的直线），交x轴于点A₁，过A₁作x轴的垂线交反比例函数图象于点P₁，过点P₁作图象的切线交x轴于点A₂，过A₂作x轴的垂线交反比例函数图象于点P₂，以此类推，可以找到无数个P点．
（1）当n=5时，属于整点（横纵坐标均为整数的点的点P有个；
（2）当n=2011时，属于整点的点P有个，最后一个整点P的坐标是．

解：（1）当n=5时P₀的坐标为（1，2⁵），
∴反比例函数的解析式为：y=

25

x

，
∴属于整点的点的坐标为：（1，2⁵）、（2，2⁴）、（2²，2³）、（2³，2²）、（2⁴，2）、（2⁵，1）六个，
∴当n=5时，属于整点（横纵坐标均为整数的点的点P有6个；

（2）当n=2011时P₀的坐标为（1，2²⁰¹¹），
∴反比例函数的解析式为：y=

22011

x

，
∴属于整点的点的坐标为：（1，2²⁰¹¹）、（2，2²⁰¹⁰）、（2²，2²⁰⁰⁹）…（2²⁰⁰⁹，2²）、（2²⁰¹⁰，2）、（2²⁰¹¹，1）2012个，
∴当n=2011时，属于整点（横纵坐标均为整数的点的点P有2012个，最后一个点的坐标为（2²⁰¹¹，1）．