试题

如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=

2

x

（x＞0）于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，垂足为C、E．
（1）求证：AD平分∠CDE；
（2）对任意的实数b（b≠0），求证：BE·OE为定值．

解：（1）证明：对于y=x+b，令x=0，则y=b；令y=0，则x=-b，
∴A点坐标为（-b，0），B点坐标为（0，b），
∴OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∴∠DAC=∠OAB=45°
又∵DC⊥x轴，DE⊥y轴，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴∠ADC=45°，
∴AD平分∠CDE；

（2）∵△OAB为等腰直角三角形，
又∵ED∥OC，
∴△BED为等腰直角三角形，
∴ED=BE，
则BE·OE可化为ED·OE，
即OC·DC，
∴BE·OE=ED·OE=OC·DC=S_△OCD=2×

1

2

=1为定值．
解：（1）证明：对于y=x+b，令x=0，则y=b；令y=0，则x=-b，
∴A点坐标为（-b，0），B点坐标为（0，b），
∴OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∴∠DAC=∠OAB=45°
又∵DC⊥x轴，DE⊥y轴，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴∠ADC=45°，
∴AD平分∠CDE；

（2）∵△OAB为等腰直角三角形，
又∵ED∥OC，
∴△BED为等腰直角三角形，
∴ED=BE，
则BE·OE可化为ED·OE，
即OC·DC，
∴BE·OE=ED·OE=OC·DC=S_△OCD=2×

1

2

=1为定值．