试题

题目：
青果学院已知两个反比例函数y=
k
x
（k＞0）和y=
6
x
在第一象限内的图象如图所示，点P是y=
6
x
图象上任意一点，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂足分别为C，D．PC、PD分别交y=
k
x
的图象于点A，B．
（1）求证：△ODB与△OCA的面积相等；
（2）记S=S△OAB-S△PAB，当k变化时，求S的最大值，并求当S取最大值时△OAB的面积．
答案
青果学院解：（1）∵点AB均是反比例函数y=
k
x
（k＞0）上的点，PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S△ODB=S△OCA=
k
2
，即△ODB与△OCA的面积相等；

（2）设P（x，
6
x
），则A（x，
k
x
），B（k，
6
x
），
∵点P在反比例函数y=
6
x
的图象上，
∴S矩形PDOC=6，
∵S△ODB=S△OCA=
k
2
，
∴S四边形PBOA=S矩形PDOC-（S△ODB+S△OCA）=6-k，
∴S=S△OAB-S△PAB=S△四边形PBOA-2S△PAB=6-k-2×
1
2
（
6
x
-
k
x
）（x-
kx
6
）=k-
k2
6
，
∴当k=
3
2
时S有最大值，S最大=
3
2
-
(
3
2
)2
6
=
9
8
；
当k=
3
2
时，S△PAB=
1
2
（
6
x
-
k
x
）（x-
kx
6
）=
29
32
，
∴S△OAB=S+S△PAB=
9
8
+
29
32
=
65
32
．
青果学院解：（1）∵点AB均是反比例函数y=
k
x
（k＞0）上的点，PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S△ODB=S△OCA=
k
2
，即△ODB与△OCA的面积相等；

（2）设P（x，
6
x
），则A（x，
k
x
），B（k，
6
x
），
∵点P在反比例函数y=
6
x
的图象上，
∴S矩形PDOC=6，
∵S△ODB=S△OCA=
k
2
，
∴S四边形PBOA=S矩形PDOC-（S△ODB+S△OCA）=6-k，
∴S=S△OAB-S△PAB=S△四边形PBOA-2S△PAB=6-k-2×
1
2
（
6
x
-
k
x
）（x-
kx
6
）=k-
k2
6
，
∴当k=
3
2
时S有最大值，S最大=
3
2
-
(
3
2
)2
6
=
9
8
；
当k=
3
2
时，S△PAB=
1
2
（
6
x
-
k
x
）（x-
kx
6
）=
29
32
，
∴S△OAB=S+S△PAB=
9
8
+
29
32
=
65
32
．
考点梳理
反比例函数综合题．
（1）直接根据反比例函数系数k的几何意义进行解答即可；
（2）设出P点坐标，进而可得出A、B两点坐标，由反比例函数系数k的几何意义可知S=S△OAB-S△PAB=S△四边形PBOA-2S△PAB，再把A、B、P三点的坐标代入即可．
本题考查的是反比例函数综合题，树脂反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键．
探究型．
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