试题

题目：
青果学院如图，点P（1，t）是曲线C：y=
4
x
上的点，Q（a，b）是第一象限内一点，且△OPQ为等腰直角三角形，斜边OQ交曲线于M，求点M的坐标．
答案
青果学院解：作PA⊥x轴于A点，作QB⊥PA于B点，
∵点P（1，t）是曲线C：y=
4
x
上的点，
∴t=4，
∴P点的坐标为（1，4），
∴PA=4，OA=1，
∵△OPQ为等腰直角三角形，
∴PO=PQ，∠OPA=∠PQB，
∴△POA≌△QPB，
∴QB=PA=4，PB=OA=1，
∴Q点的坐标为（5，3）
∴线段OQ所在直线的解析式为y=
3
5
x，
∴令
4
x
=
3
5
x
解得：x=±
2
15
3
，
y=±
2
15
5
，
∵点M在第一象限，
∴M点的坐标为（
2
15
3
，
2
15
5
）．
青果学院解：作PA⊥x轴于A点，作QB⊥PA于B点，
∵点P（1，t）是曲线C：y=
4
x
上的点，
∴t=4，
∴P点的坐标为（1，4），
∴PA=4，OA=1，
∵△OPQ为等腰直角三角形，
∴PO=PQ，∠OPA=∠PQB，
∴△POA≌△QPB，
∴QB=PA=4，PB=OA=1，
∴Q点的坐标为（5，3）
∴线段OQ所在直线的解析式为y=
3
5
x，
∴令
4
x
=
3
5
x
解得：x=±
2
15
3
，
y=±
2
15
5
，
∵点M在第一象限，
∴M点的坐标为（
2
15
3
，
2
15
5
）．
考点梳理
反比例函数综合题．
作PA⊥x轴于A点，作QB⊥PA于B点，利用已知条件证得两三角形全等，进而求得Q点的坐标，然后求出直线OQ的解析式，最后求得直线与双曲线的交点坐标即可．
本题考查了反比例函数的综合知识，正确的构造辅助线求得点Q的坐标是解决本题的关键．
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