试题

题目：
青果学院如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y=
k2
x
（k2＞0）相交于A（1，m）和B（4，n），过点A作AM⊥x轴于M，直线AB交y轴于C．
（1）若AB=5，求点A坐标；
（2）过点C作CD⊥y轴交反比例函数图象于D，若△CDB的面积为
8
5
，求反比例函数的解析式．
答案
解：（1）∵点A、B在反比例函数y=
k2
x
（k2＞0）的图象上，A（1，m）和B（4，n），
∴m=k2，n=
k2
3
，即A（1，
k2
3
），B（3，k2），∵AB=5，
∴（1-4）2+（k2-
k2
3
）2=25，
解得，k2=6，
则点A的坐标是（1，6）；

（2）由（1）知A（1，
k2
3
），B（3，k2）．
∵点C是直线y=k1x+b（k1≠0）与y轴的交点，
∴C（0，b）．
∵CD⊥y轴，AM⊥x轴，
∴D（1，b）．
∵△CDB的面积为
8
5
，
∴S△CDB=
1
2
×1·（b-
k2
3
）=
8
5
，①
S△CDB=
1
2
×3·（b-k2）=
8
5
，②
由①②解得，k2=
16
5
，
故反比例函数的解析式是：y=
16
5
x
=
16
5x
．
解：（1）∵点A、B在反比例函数y=
k2
x
（k2＞0）的图象上，A（1，m）和B（4，n），
∴m=k2，n=
k2
3
，即A（1，
k2
3
），B（3，k2），∵AB=5，
∴（1-4）2+（k2-
k2
3
）2=25，
解得，k2=6，
则点A的坐标是（1，6）；

（2）由（1）知A（1，
k2
3
），B（3，k2）．
∵点C是直线y=k1x+b（k1≠0）与y轴的交点，
∴C（0，b）．
∵CD⊥y轴，AM⊥x轴，
∴D（1，b）．
∵△CDB的面积为
8
5
，
∴S△CDB=
1
2
×1·（b-
k2
3
）=
8
5
，①
S△CDB=
1
2
×3·（b-k2）=
8
5
，②
由①②解得，k2=
16
5
，
故反比例函数的解析式是：y=
16
5
x
=
16
5x
．
考点梳理
反比例函数综合题．
（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征可知A（1，k2），B（3，
k2
3
），然后由两点间的距离公式易求k2的值；
（2）由题意知S△CDB=
1
2
CD·（b-n）=
8
5
，S△CDB=
1
2
×3·（b-m）=
8
5
，（m=k2，n=
k2
3
），据此可以列出关于b、k2的方程组，通过解该方程组来求k2的值．
本题考查了反比例函数综合题．其中涉及到了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及三角形的面积的计算，同时要注意运用数形结合的思想．
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