试题

题目：
青果学院（2012·扬州）如图，双曲线y=
k
x
经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为5，则k的值是
12
12
．
答案
12

解：过A点作AC⊥x轴于点C，如图，青果学院
则AC∥NM，
∴△OAC∽△ONM，
∴OC：OM=AC：NM=OA：ON，
而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），则OC=a，AC=b，
∴OM=
3
2
a，NM=
3
2
b，
∴N点坐标为（
3
2
a，
3
2
b），
∴点B的横坐标为
3
2
a，设B点的纵坐标为y，
∵点A与点B都在y=
k
x
图象上，
∴k=ab=
3
2
a·y，
∴y=
2
3
b，即B点坐标为（
3
2
a，
2
3
b），
∵OA=2AN，△OAB的面积为5，
∴△NAB的面积为
5
2
，
∴△ONB的面积=5+
5
2
=
15
2
，
∴
1
2
NB·OM=
15
2
，即
1
2
×（
3
2
b-
2
3
b）×
3
2
a=
15
2
，
∴ab=12，
∴k=12．
故答案为12．
考点梳理
反比例函数综合题．
过A点作AC⊥x轴于点C，易得△OAC∽△ONM，则OC：OM=AC：NM=OA：ON，而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），得到N点坐标为（
3
2
a，
3
2
b），由点A与点B都在y=
k
x
图象上，
根据反比例函数的坐标特点得B点坐标为（
3
2
a，
2
3
b），由OA=2AN，△OAB的面积为5，△NAB的面积为
5
2
，则△ONB的面积=5+
5
2
=
15
2
，根据三角形面积公式得
1
2
NB·OM=
15
2
，即
1
2
×（
3
2
b-
2
3
b）×
3
2
a=
15
2
，化简得ab=12，即可得到k的值．
本题考查了反比例函数综合题：反比例函数y=
k
x
图象上的点的横纵坐标的积都等于k；利用相似三角形的判定与性质求线段之间的关系，从而确定某些点的坐标．
综合题；压轴题．
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