试题

题目：
青果学院如图，双曲线y=
k
x
经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为
5
2
，则k的值是（　　）



答案
C
青果学院解：作AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F．
则AE∥MN，
∴△AOE∽△NOM，
∴
OE
OM
=
OA
ON
=
2
3
，即AE=
2
3
MN，OE=
2
3
OM，
同理：NF=
1
3
MN，MF=
2
3
MN，
设N的坐标是（a，b），则A的坐标是（
2
3
a，
2
3
b），
代入y=
k
x
得：k=
4
9
ab，
在y=
k
x
中，令x=a，则y=
4b
9
，故B的坐标是：（a，
4
9
b），即BM=
4b
9
，NB=b-
4b
9
=
5b
9
．
∴S△OBM=
1
2
OM·BM=
1
2
a·
4b
9
=
2ab
9
，
S△ABN=
1
2
BN·AF=
1
2
×
5b
9
×
1
3
a=
5ab
54
，
又∵S△OMN=
1
2
ab，
∴S△OAB=
1
2
ab-
2ab
9
-
5ab
54
=
5
27
ab=
5
2
，
∴ab=
27
2
．
∴k=
4
9
×
27
2
=6．
故选C．
考点梳理
反比例函数综合题．
作AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，设N的坐标是（a，b），根据相似三角形的性质即可表示出A的坐标，从而利用a，b表示出k的值，求得B的坐标，则△OAB的面积即可利用a，b表示出来，从而求得ab的值，则k的值即可求得．
本题是待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质的综合应用，正确表示出B的坐标是关键．
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