试题

题目：
青果学院在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，E为CB延长线上一点，点F在AB上，且AE=CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE=60°，求∠ACF的度数．
答案
（1）证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵
AE=CF
AB=CB
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；

（2）如图，∵在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=15°．
又由（1）知，Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BAE=∠BCF=15°，
∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=30°．即∠ACF的度数是30°．
（1）证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵
AE=CF
AB=CB
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；

（2）如图，∵在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=15°．
又由（1）知，Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BAE=∠BCF=15°，
∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=30°．即∠ACF的度数是30°．
考点梳理
全等三角形的判定与性质．
（1）在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB=CB，AE=CF，利用HL可证Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由等腰直角三角形的性质易求∠BAE=∠CAE-∠CAB=15°．利用（1）中全等三角形的对应角相等得到∠BAE=∠BCF=15°，则∠ACF=∠ACB-∠BCF=30°．即∠ACF的度数是30°．
本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
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