试题

如图．AE、BD是△ABM的高．AE、BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM．
（1）求证：BC=2AD；
（2）求证：AB=AE+CE；
（3）求证：DE平分∠MDB．

证明：（1）∵BD平分∠ABM，BD是高，
∴∠ABD=∠MBD，∠ADB=∠MDB=90°，
∵在△ABD和△MBD中

∠ADB=∠MDB BD=BD ∠ABD=∠MBD

∴△ABD≌△MBD（ASA），
∴AD=DM=

1

2

AM，
∵AE、BD是△ABM的高，
∴∠ADB=∠AEB=∠AEM=90°，
∵∠ACD=∠ECB，∠MAE+∠ADC+∠ACD=180°，∠CBE+∠ECB+∠CEB=180°，
∴∠MAE=∠CBE，
在△AME和△BCE中

∠MAE=∠CBE AE=BE ∠AEM=∠BEC

∴△AME≌△BCE（ASA），
∴AM=BC，
∴BC=2AD．

（2）∵△ABD≌△MBD，
∴AB=MB，
∵△AME≌△BCE，
∴ME=EC，
∴AB=BM=BE+EM=AE+CE．

（3）作EF⊥BC于F，EN⊥AD于N，
则∠ANE=∠BFE=90°，
∵在△AEN和△BEF中

∠NAE=∠EBF ∠ANE=∠BFE AE=BE

∴△AEN≌△BEF（AAS），
∴EN=EF，
∵EF⊥BC，EN⊥AD，
∴DE平分∠MDB．
证明：（1）∵BD平分∠ABM，BD是高，
∴∠ABD=∠MBD，∠ADB=∠MDB=90°，
∵在△ABD和△MBD中

∠ADB=∠MDB BD=BD ∠ABD=∠MBD

∴△ABD≌△MBD（ASA），
∴AD=DM=

1

2

AM，
∵AE、BD是△ABM的高，
∴∠ADB=∠AEB=∠AEM=90°，
∵∠ACD=∠ECB，∠MAE+∠ADC+∠ACD=180°，∠CBE+∠ECB+∠CEB=180°，
∴∠MAE=∠CBE，
在△AME和△BCE中

∠MAE=∠CBE AE=BE ∠AEM=∠BEC

∴△AME≌△BCE（ASA），
∴AM=BC，
∴BC=2AD．

（2）∵△ABD≌△MBD，
∴AB=MB，
∵△AME≌△BCE，
∴ME=EC，
∴AB=BM=BE+EM=AE+CE．

（3）作EF⊥BC于F，EN⊥AD于N，
则∠ANE=∠BFE=90°，
∵在△AEN和△BEF中

∠NAE=∠EBF ∠ANE=∠BFE AE=BE

∴△AEN≌△BEF（AAS），
∴EN=EF，
∵EF⊥BC，EN⊥AD，
∴DE平分∠MDB．