试题

题目：
青果学院如图，AD为△ABC的中线，E为AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于F，FG⊥AD于G．求证：AG=EG．
答案
青果学院证明：如图，过BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BDM和△CDN中，
∠M=∠CND=90°
∠CDN=∠BDM
BD=CD
，
∴△BDM≌△CDN（AAS），
∴BM=CN，
在Rt△ACN和Rt△EBM中，
BE=AC
BM=CN
，
∴Rt△ACN≌Rt△EBM（HL），
∴∠CAN=∠BEM，
∵∠AEF=∠BEM，
∴∠CAN=∠AEF，
∴AF=EF，
∵FG⊥AD，
∴AG=EG（等腰三角形三线合一）．
青果学院证明：如图，过BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BDM和△CDN中，
∠M=∠CND=90°
∠CDN=∠BDM
BD=CD
，
∴△BDM≌△CDN（AAS），
∴BM=CN，
在Rt△ACN和Rt△EBM中，
BE=AC
BM=CN
，
∴Rt△ACN≌Rt△EBM（HL），
∴∠CAN=∠BEM，
∵∠AEF=∠BEM，
∴∠CAN=∠AEF，
∴AF=EF，
∵FG⊥AD，
∴AG=EG（等腰三角形三线合一）．
考点梳理
全等三角形的判定与性质．
过BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，根据三角形的中线的定义可得BD=CD，然后利用“角角边”证明△BDM和△CDN全等，根据全等三角形对应边相等可得BM=CN，再利用“HL”证明△ACN和△EBM全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CAN=∠BEM，然后求出∠CAN=∠AEF，根据等角对等边可得AF=EF，再利用等腰三角形三线合一的性质证明即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，难点在于作出辅助线并两次证明三角形全等．
证明题．
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