试题

如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF．

证明：如图，延长DC至M，使CM=AE，
在△ABE和△CBM中，

CM=AE ∠BCM=∠A=90° AB=BC

，
∴△ABE≌△CBM（SAS），
∴BM=BE，∠CBM=∠ABE，
∵∠D=60°，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC=360°-60°-90°×2=120°，
∵∠EBF=60°，
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠EBF=120°-60°=60°，
∴∠MBF=∠MCB+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°，
∴∠EBF=∠MBF，
在△BMF和△BEF中，

BM=BE ∠EBF=∠MBF BF=BF

，
∴△BMF≌△BEF（SAS），
∴MF=EF，
∵MF=MC+CF，
∴EF=AE+CF．
证明：如图，延长DC至M，使CM=AE，
在△ABE和△CBM中，

CM=AE ∠BCM=∠A=90° AB=BC

，
∴△ABE≌△CBM（SAS），
∴BM=BE，∠CBM=∠ABE，
∵∠D=60°，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC=360°-60°-90°×2=120°，
∵∠EBF=60°，
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠EBF=120°-60°=60°，
∴∠MBF=∠MCB+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°，
∴∠EBF=∠MBF，
在△BMF和△BEF中，

BM=BE ∠EBF=∠MBF BF=BF

，
∴△BMF≌△BEF（SAS），
∴MF=EF，
∵MF=MC+CF，
∴EF=AE+CF．