试题

如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°．有以下四个结论：
①AF⊥BC；
②△ADG≌△ACF； 
③O为BC的中点； 
④AG：GE=

3

：4
其中正确结论的序号是．

解：①∵两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，
∴△ADE≌△ACB，
∴∠D=∠C，∠B=∠E，∠DAE=∠CAB=90°，AD=AC．
∴∠DAE-∠BAE=∠CAB-∠BAE，
∴∠DAG=∠CAF=30°
∵∠B=∠E=30°，
∴∠D=∠C=60°．
∴∠AGD=∠AFC=90°，
∴AF⊥BC．故正确；
②在△ADG和△ACF中

∠DAG=∠CAF AD=AC ∠AGD=∠AFC

，
∴△ADG≌△ACF（ASA）故正确；
③连接AO，
∵∠AGD=∠AFC=90°，
∴∠AGO=∠AFO．
∵△ADG≌△ACF，
∴AG=AF．
在Rt△AGO和Rt△AFO中

AO=AO AG=AF

，
∴Rt△AGO≌Rt△AFO（HL），
∴∠GAO=∠FAO．
∵∠DAE=90°，∠DAB=30°，
∴∠GAF=60°，
∴∠GAO=∠FAO=30°，
∴∠OAC=60°，
∴∠AOC=60°，
∴∠OAC=∠AOC=∠C，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OC．
∵∠B=30°，∠BAC=90°，
∴AAC=

1

2

BC，
∴OC=

1

2

BC，
∴O为BC的中点．故正确；
④∵∠E=30°，
∴AE=2AG．
设AG=a，则AE=2a，由勾股定理得
GE=

3

a，
∴AG：GE=a：

3

a=1：

3

．故错误．
∴正确结论是①②③．
故答案为：①②③．