试题

题目：
若正整系数二次方程4x2+mx+n=0有相异的两个有理根p，q，且p＞q，又方程x2-px+2q=0与方程x2-qx+2p=0有一公共根，则方程x2-px+2q=0的另一根为
3
2
3
2
．
答案
3
2

解：设方程x2-px+2q=0与方程x2-qx+2p=0的公共根为a，则
a2-pa+2q=0
a2-qa+2p=0
，
∴（p-q）（a+2）=0，
又∵p＞q，∴p-q≠0，即a+2=0，
∴a=-2，代入到x2-px+2q=0得22+2p+2q=0，
∴p+q=-2，
又∵4x2+mx+n=0有相异二有理根p，q，
∴p+q=-
m
4
=-2，
∴m=8，而△=m2-16n＞0，
∴82-16n＞0，n＜4，
∵n为正整数，且△=m2-16n=82-16n=16（4-n）为完全平方数，所以4-n=1，得n=3，
由于
p+q=2
pq=
3
4
，
解得
p=-
3
2
q=-
1
2
（舍去）或
p=-
1
2
q=-
3
2
，
∴x2+
1
2
x-3=0，
设方程x2-px+2q=0的另一根为β，则（-2）β=-3，
∴β=
3
2
．
故答案为：
3
2
考点梳理
一元二次方程的整数根与有理根；一元二次方程的解；根与系数的关系．
方程4x2+mx+n=0有相异的两个有理根p，q，方程x2-px+2q=0与方程x2-qx+2p=0有一公共根，且p＞q，由已知条件先求出m，再求出n的值，根据根与系数的关系即可进行求解．
本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，难度较大，主要掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q．
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