试题

题目：
已知a是方程x2-3x+1=0的根，求代数式2a2-5a+2+
3
a2+1
的值．
答案
解：∵a是方程x2-3x+1=0的根，
∴a2-3a+1=0，
∴a2-3a=-1，a2+1=3a．
∴2a2-5a+2+
3
a2+1
=2（a2-3a）+a+2+
3
3a
=-2+a+2+
1
a
=a+
1
a
．
解方程x2-3x+1=0得：x=
3±
5
2
，
∵
3+
5
2
=
1
3-
5
2
，即方程的两个根互为倒数．
∴原式=a+
1
a
=
3+
5
2
+
3-
5
2
=3．
解：∵a是方程x2-3x+1=0的根，
∴a2-3a+1=0，
∴a2-3a=-1，a2+1=3a．
∴2a2-5a+2+
3
a2+1
=2（a2-3a）+a+2+
3
3a
=-2+a+2+
1
a
=a+
1
a
．
解方程x2-3x+1=0得：x=
3±
5
2
，
∵
3+
5
2
=
1
3-
5
2
，即方程的两个根互为倒数．
∴原式=a+
1
a
=
3+
5
2
+
3-
5
2
=3．
考点梳理
分式的化简求值；一元二次方程的解．
根据方程的根的定义可得：a2-3a+1=0，则a2-3a=-1，a2+1=3a．因而2a2-5a+2+
3
a2+1
=2（a2-3a）+a+2+
3
3a
=-2+a+2+
1
a
=a+
1
a
．然后解方程即可求得x的值，代入a+
1
a
即可求得代数式的值．
本题考查了方程的解的定义，以及代数式的化简求值，正确把所求的式子变形成a+
1
a
，并且注意到方程的两个根的倒数关系是解题的关键．
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