试题

设a，b，c为三个互不相等的实数，且c≠1．已知关于x的方程x²+ax+1=0和x²+bx+c=0有一个公共根，方程x²+x+a=0和x²+cx+b=0有一个公共根．试求：a+b+c的值．

解：设x₁²+ax₁+1=0，x₁²+bx₁+c=0，两式相减，得（a-b）x₁+1-c=0，解得x₁=

c-1

a-b

，
同理，由x₂²+x₂+a=0，x₂²+cx₂+b=0，得x₂=

a-b

c-1

（c≠1），
∵x₂=

1

x1

，
∴

1

x1

是第一个方程的根，
∵x₁与

1

x1

是方程x₁²+ax₁+1=0的两根，
∴x₂是方程x²+ax+1=0和x²+x+a=0的公共根，
因此两式相减有（a-1）（x₂-1）=0，
当a=1时，这两个方程无实根，
故x₂=1，从而x₁=1，
于是a=-2，b+c=-1，
∴a+b+c=-3．
解：设x₁²+ax₁+1=0，x₁²+bx₁+c=0，两式相减，得（a-b）x₁+1-c=0，解得x₁=

c-1

a-b

，
同理，由x₂²+x₂+a=0，x₂²+cx₂+b=0，得x₂=

a-b

c-1

（c≠1），
∵x₂=

1

x1

，
∴

1

x1

是第一个方程的根，
∵x₁与

1

x1

是方程x₁²+ax₁+1=0的两根，
∴x₂是方程x²+ax+1=0和x²+x+a=0的公共根，
因此两式相减有（a-1）（x₂-1）=0，
当a=1时，这两个方程无实根，
故x₂=1，从而x₁=1，
于是a=-2，b+c=-1，
∴a+b+c=-3．