试题

题目：
若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则有x1+x2=-
b
a
，x1·x2=
c
a
，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．若α，β是方程x2-x-1=0的两根，记S1=α+β，S2=α2+β2，…，Sn=αn+βn，
（1）S1=
1
1
S2=
3
3
S3=
4
4
S4=
7
7
直接写出结果）
（2）当n为不小于3的整数时，由（1）猜想Sn，Sn-1，Sn-2有何关系？
（3）利用（2）中猜想求(
1+
5
2
)7+(
1-
5
2
)7的值．
答案
1

3

4

7

解：（1）根据根与系数的关系有：
α+β=1，αβ=-1．
∴S1=α+β=1．
S2=α2+β2=（α+β）2-2αβ=1+2=3．
S3=α3+β3=（α+β）（α2-αβ+β2）=（α+β）2-3αβ=1+3=4．
S4=α4+β4=（α2+β2）2-2α2β2=9-2=7．
（2）由（1）得：Sn=Sn-1+Sn-2．
证明：∵α，β是方程的根，∴有：α2=α+1，β2=β+1，
Sn-1+Sn-2=αn-1+βn-1+αn-2+βn-2
=
αn
α
+
αn
α2
+
βn
β
+
βn
β2

=
αn(1+α)
α2
+
βn(1+β)
β2

=αn+βn=Sn．
故Sn=Sn-1+Sn-2．
（3）由（2）有：
(
1+
5
2
)7+(
1-
5
2
)7=S7=S6+S5
=S5+S4+S4+S3
=S4+S3+2S4+S3
=3S4+2S3
=3×7+2×4=29．
考点梳理
根与系数的关系；一元二次方程的解．
（1）根据根与系数的关系，写出α+β，αβ的值，然后运用完全平方公式和立方和公式进行计算，求出S1，S2，S3，S4的值．
（2）利用（1）中S2=3，S3=4，S4=7，猜想Sn=Sn-1+Sn-2，然后由α，β是方程的根，得到α2=α+1，β，2=β+1进行证明．
（3）根据（2）中的猜想得到上式为S7=S6+S5进行计算求出式子的值．
本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，（1）题根据根与系数的关系，运用乘法公式计算求出S1，S2，S3，S4的值．（2）题以（1）题结果为依据猜想Sn，Sn-1，Sn-2的关系，并根据α，β是方程的根进行证明．（3）题利用（2）题的结论进行计算求出式子的值．
计算题．
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