试题

一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0，
（1）m为何实数时，方程的两个根互为相反数？
（2）m为何实数时，方程的一个根为零？
（3）是否存在实数m，使方程的两个根互为倒数？

解：（1）∵一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0的两个根互为相反数，
∴x₁+x₂=

m-1

8

=0，
解得m=1；

（2）∵一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0的一个根为零，
∴x₁·x₂=

m-7

8

=0，
解得m=7；

（3）设存在实数m，使方程8x²-（m-1）x+m-7=0的两个根互为倒数，则
x₁·x₂=

m-7

8

=1，
解得m=15；
则原方程为4x²-7x+4=0，
△=49-4×4×4=-15＜0，所以原方程无解，这与存在实数m，使方程8x²-（m-1）x+m-7=0有两个根相矛盾．故不存在这样的实数m．
解：（1）∵一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0的两个根互为相反数，
∴x₁+x₂=

m-1

8

=0，
解得m=1；

（2）∵一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0的一个根为零，
∴x₁·x₂=

m-7

8

=0，
解得m=7；

（3）设存在实数m，使方程8x²-（m-1）x+m-7=0的两个根互为倒数，则
x₁·x₂=

m-7

8

=1，
解得m=15；
则原方程为4x²-7x+4=0，
△=49-4×4×4=-15＜0，所以原方程无解，这与存在实数m，使方程8x²-（m-1）x+m-7=0有两个根相矛盾．故不存在这样的实数m．