试题

若方程x²-6x-k-1=0与x²-kx-7=0仅有一个公共的实数根，试求k的值和相同的根．

解：设方程x²-6x-k-1=0与x²-kx-7=0．
公共根为x₀，则x₀²-6x₀-k-1=0①
x₀²-kx₀-7=0②
①-②得（x₀²-6x₀-k-1）-（x₀²-kx₀-7）=0，
-6x₀+kx₀-k-1+7=0，
x₀（k-6）-（k-6）=0，
（k-6）（x₀-1）=0．
①若k≠6，则x₀=1．
当x₀=1时，1²-6×1-k-1=0，
所以k=-6．
②若k=6，则x₀≠1．
方程x²-6x-6-1=0，
x²-6x-7=0．
所以（x-7）（x+1）=0，
即x₁=7，x₂=-1．
而x²-6x-7=0与上述方程是同一方程．
所以当k=-6时，方程的公共根为x=1．
解：设方程x²-6x-k-1=0与x²-kx-7=0．
公共根为x₀，则x₀²-6x₀-k-1=0①
x₀²-kx₀-7=0②
①-②得（x₀²-6x₀-k-1）-（x₀²-kx₀-7）=0，
-6x₀+kx₀-k-1+7=0，
x₀（k-6）-（k-6）=0，
（k-6）（x₀-1）=0．
①若k≠6，则x₀=1．
当x₀=1时，1²-6×1-k-1=0，
所以k=-6．
②若k=6，则x₀≠1．
方程x²-6x-6-1=0，
x²-6x-7=0．
所以（x-7）（x+1）=0，
即x₁=7，x₂=-1．
而x²-6x-7=0与上述方程是同一方程．
所以当k=-6时，方程的公共根为x=1．