试题

题目：
方程x2-2x+1=0的根为x1=1，x2=1，则x1+x2=2，x1·x2=1．
方程x2+3x-4=0的根为x1=-4，x2=1，则x1+x2=-3，x1·x2=-4，
方程x2-x-1=0的根为x1=
1+
5
2
，x2=
1-
5
2
，则x1+x2=1，x1·x2=-1
（1）由此可得到什么猜想？你能证明你猜想的结论吗？
（2）利用（1）的结论解决下列问题：
已知α、β是方程x2+（m-2）x+502=0的两根，求代数式（502+mα+α2）（502+mβ+β2）的值．
答案
解：（1）猜想：若方程x2+px+q=0（p、q是常数，x是未知数）有两个根x1、x2，则x1+x2=-p，x1·x2=q．理由如下：
∵方程x2+px+q=0的两实根是x1=
-p+
p2-4q
2
，x2=
-p-
p2-4q
2
，
∴x1+x2=
-p+
p2-4q
2
+
-p-
p2-4q
2
=
-2p
2
=-p，
x1·x2=
-p+
p2-4q
2
·
-p-
p2-4q
2
=
p2-(p2-4q)
4
=q；

（2）∵α、β是方程x2+（m-2）x+502=0的两根，
∴α2+（m-2）α+502=0，β2+（m-2）β+502=0，
∴α2+mα=2α-502，β2+mβ=2β-502，
又由（1）知，α+β=2-m，αβ=502，
∴（502+mα+α2）（502+mβ+β2）=（502+2α-502）（502+2β-502）=4αβ=2008．
解：（1）猜想：若方程x2+px+q=0（p、q是常数，x是未知数）有两个根x1、x2，则x1+x2=-p，x1·x2=q．理由如下：
∵方程x2+px+q=0的两实根是x1=
-p+
p2-4q
2
，x2=
-p-
p2-4q
2
，
∴x1+x2=
-p+
p2-4q
2
+
-p-
p2-4q
2
=
-2p
2
=-p，
x1·x2=
-p+
p2-4q
2
·
-p-
p2-4q
2
=
p2-(p2-4q)
4
=q；

（2）∵α、β是方程x2+（m-2）x+502=0的两根，
∴α2+（m-2）α+502=0，β2+（m-2）β+502=0，
∴α2+mα=2α-502，β2+mβ=2β-502，
又由（1）知，α+β=2-m，αβ=502，
∴（502+mα+α2）（502+mβ+β2）=（502+2α-502）（502+2β-502）=4αβ=2008．
考点梳理
根与系数的关系；一元二次方程的解．
（1）观察方程的两根的和与积与方程的系数之间的关系，利用系数表示出两个根的和与积得到结论，然后利用求根公式进行证明；
（2）先根据方程根的定义得出α2+（m-2）α+502=0，β2+（m-2）β+502=0，变形之后，再利用（1）的结论求出即可．
本题考查了学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，实际上考查了根与系数的关系，求根公式及方程的解的定义，难度中等．
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