试题
题目：
已知二次方程x
2
-3x+1=0的两根为α、β，求①|α-β|；②α
3
+β
3
；③α
3
-β
3
；④
α
β
+
β
α
答案
解：∵α，β是方程的两个根，
∴α+β=3，αβ=1．
①|α-β|=
(α-β)
2
=
(α+β)
2
-4αβ
=
9-4
=
5
．
②α
3
+β
3
=（α+β）（α
2
-αβ+β
2
）=（α+β）[（α+β）
2
-3αβ]=1×（9-3）=6．
③α
3
-β
3
=（α-β）（α
2
+αβ+β
2
）=（α-β）[（α+β）
2
-αβ]
由①知α-β=±
5
，
∴原式=±
5
（9-1）=±8
5
．
④
β
α
+
α
β
=
β
2
αβ
+
α
2
αβ
∵α+β=3＞0，αβ=1＞0
∴α＞0，β＞0，
∴原式=
α+β
αβ
=
3
1
=3．
解：∵α，β是方程的两个根，
∴α+β=3，αβ=1．
①|α-β|=
(α-β)
2
=
(α+β)
2
-4αβ
=
9-4
=
5
．
②α
3
+β
3
=（α+β）（α
2
-αβ+β
2
）=（α+β）[（α+β）
2
-3αβ]=1×（9-3）=6．
③α
3
-β
3
=（α-β）（α
2
+αβ+β
2
）=（α-β）[（α+β）
2
-αβ]
由①知α-β=±
5
，
∴原式=±
5
（9-1）=±8
5
．
④
β
α
+
α
β
=
β
2
αβ
+
α
2
αβ
∵α+β=3＞0，αβ=1＞0
∴α＞0，β＞0，
∴原式=
α+β
αβ
=
3
1
=3．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根与系数的关系；一元二次方程的解．
根据根与系数的关系，写出α+β和αβ的值，再把要求的代数式转化成含有α+β和αβ的形式，求出代数式的值．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系求出两根的和与两根的积，然后代入代数式求出代数式的值．
计算题．
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