试题

已知t为一元二次方程x²-3x+1=0的根．
（1）对任一给定的有理数a，求有理数b，c，使得（t+a）（bt+c）=1成立；
（2）

1

t2+2

表示成dt+e的形式，其中d，e为有理数．

解：（1）解方程x²-3x+1=0得t=

3± 5

2

是无理数，
由（t+a）（bt+c）=1得bt²+（ab+c）t+ac-1=0，
∵t²-3t+1=0，
∴t²=3t-1，
于是上式可化为（3b+ab+c）t-b+ac-1=0
由于t是无理数，故有

3b+ab+c=0 -b+ac-1=0

∵a，b是有理数，∵a²+3a+1≠0，由上面方程组解得：
b=-

1

a2+3a+1

，c=

a+3

a2+3a+1

（2）因为x²+2=（3t-1）+2=3t+1=3（t+

1

3

），
由（1）知，对a=

1

3

，有b=-

1

a2+3a+1

=-

9

19

，c=

a+3

a2+3a+1

=

30

19

，
使得（t+

1

3

）（-

9

19

t+

30

19

）=1，
从而

1

t2+2

=

1

3

（-

9

19

t+

30

19

）=-

3

19

t+

10

19

．
解：（1）解方程x²-3x+1=0得t=

3± 5

2

是无理数，
由（t+a）（bt+c）=1得bt²+（ab+c）t+ac-1=0，
∵t²-3t+1=0，
∴t²=3t-1，
于是上式可化为（3b+ab+c）t-b+ac-1=0
由于t是无理数，故有

3b+ab+c=0 -b+ac-1=0

∵a，b是有理数，∵a²+3a+1≠0，由上面方程组解得：
b=-

1

a2+3a+1

，c=

a+3

a2+3a+1

（2）因为x²+2=（3t-1）+2=3t+1=3（t+

1

3

），
由（1）知，对a=

1

3

，有b=-

1

a2+3a+1

=-

9

19

，c=

a+3

a2+3a+1

=

30

19

，
使得（t+

1

3

）（-

9

19

t+

30

19

）=1，
从而

1

t2+2

=

1

3

（-

9

19

t+

30

19

）=-

3

19

t+

10

19

．