试题

有一张矩形纸片ABCD，E、F、分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=a，AD=b，BE=x．
（1）求证：AF=EC；
（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C．
①当x：b为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点？
②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE'，直线BE'与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直？

解：（1）证明：由

1

2

（x+AF）·a=

1

2

（b-x+b-AF）·a，
得AF=b-x，
又EC=b-x，
∴AF=EC．

（2）翻折后的图形如图，

①如图1，当直线EE′经过原矩形顶点D时，x：b=

2

3

，
如图2，当直线E′E经过原矩形的顶点A时，x：b=

1

3

；
②如图1，当矩形E′E经过原矩形顶点D时，BE′∥EF，
理由如下：根据题意得，BE=DF，EE′=EF，
又∵∠BEE′=∠DEC=∠EDF，
∴在△BEE′与△FDE中，

BE=DF ∠BEE′ EE′=DE

=∠EDF，
∴△BEE′≌△FED（SAS），
∴∠BE′E=∠FED，
∴BE′∥EF；
如图2，当直线E′E经过原矩形的顶点A时，且当a：b=

2

3

时，BE′与EF垂直．
解：（1）证明：由

1

2

（x+AF）·a=

1

2

（b-x+b-AF）·a，
得AF=b-x，
又EC=b-x，
∴AF=EC．

（2）翻折后的图形如图，

①如图1，当直线EE′经过原矩形顶点D时，x：b=

2

3

，
如图2，当直线E′E经过原矩形的顶点A时，x：b=

1

3

；
②如图1，当矩形E′E经过原矩形顶点D时，BE′∥EF，
理由如下：根据题意得，BE=DF，EE′=EF，
又∵∠BEE′=∠DEC=∠EDF，
∴在△BEE′与△FDE中，

BE=DF ∠BEE′ EE′=DE

=∠EDF，
∴△BEE′≌△FED（SAS），
∴∠BE′E=∠FED，
∴BE′∥EF；
如图2，当直线E′E经过原矩形的顶点A时，且当a：b=

2

3

时，BE′与EF垂直．