试题

如图，∠C=∠E=90°，EA=ED，CA=CB，且P为BD的中点，求证：PC=PE且PC⊥PE．

证明：延长ED，交BC于F，连接PF，PC交EF于G
∵AE=ED，∠E=∠C=90°，AC=BC，
∴∠ADE=45°
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴∠DFB=∠DFC=90°，
∴四边形ACFE是矩形，
∴AE=FC=ED
∵P是BD的中点，
∴PF⊥BD，PF=PD，∠PFB=45°，
∴∠EDP=∠PFC=135°．∠FPD=90°．
在△EDP和△PFC中

ED=CF ∠EDP=∠PFC PD=PF

，
∴△EDP≌△PFC（SAS），
∴PE=PC，∠EPD=∠CPF．
∵∠DPC+∠CPF=90°，
∴∠EPD+∠DPC=90°，
即∠EPG=90°，
∴PC⊥PE．
证明：延长ED，交BC于F，连接PF，PC交EF于G
∵AE=ED，∠E=∠C=90°，AC=BC，
∴∠ADE=45°
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴∠DFB=∠DFC=90°，
∴四边形ACFE是矩形，
∴AE=FC=ED
∵P是BD的中点，
∴PF⊥BD，PF=PD，∠PFB=45°，
∴∠EDP=∠PFC=135°．∠FPD=90°．
在△EDP和△PFC中

ED=CF ∠EDP=∠PFC PD=PF

，
∴△EDP≌△PFC（SAS），
∴PE=PC，∠EPD=∠CPF．
∵∠DPC+∠CPF=90°，
∴∠EPD+∠DPC=90°，
即∠EPG=90°，
∴PC⊥PE．