试题

题目：
青果学院（2008·潍坊）如图，ABCD为平行四边形，AD=2，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．
（1）求证：EF=DF；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求DE的长．
答案
青果学院（1）证明：过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，
则∠GEF=∠CDF，∠G=∠DCF，
在平行四边形ABCD中，
AB∥CD，AB=CD，
∴EG∥AB．
∵BE∥AC，
∴四边形ABEG是平行四边形．
∴EG=AB=CD．
∴△EGF≌△DCF．
∴EF=DF．

（2）解：∵∠ADC=60°，AC⊥DC，
∴∠CAD=30°．
∵AD=2，
∴CD=1，
∴AC=
3
，
又∵AC=2CF，
∴CF=
3
2
．
在Rt△DCF中
DF=
CD2+CF2
=
7
2
，
∴DE=2DF=
7
．
青果学院（1）证明：过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，
则∠GEF=∠CDF，∠G=∠DCF，
在平行四边形ABCD中，
AB∥CD，AB=CD，
∴EG∥AB．
∵BE∥AC，
∴四边形ABEG是平行四边形．
∴EG=AB=CD．
∴△EGF≌△DCF．
∴EF=DF．

（2）解：∵∠ADC=60°，AC⊥DC，
∴∠CAD=30°．
∵AD=2，
∴CD=1，
∴AC=
3
，
又∵AC=2CF，
∴CF=
3
2
．
在Rt△DCF中
DF=
CD2+CF2
=
7
2
，
∴DE=2DF=
7
．
考点梳理
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
（1）先过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，由EG∥CD，AB∥CD，可得，AB∥GE，再由BE∥AG，那么四边形ABEG是平行四边形，就可得，AB=GE=CD，而GE∥CD，会出现两对内错角相等，故△EGF≌△DCF，即EF=DF．
（2）有AC⊥DC，∠ADC=60°，可得CD=
1
2
AD=1，利用勾股定理，可求AC=
3
，而CF=
1
2
AC，那么再利用勾股定理，又可求DF，而由（1）知，DE=2DF，故可求．
本题利用了平行四边形的性质及判定，还有平行线的性质，全等三角形的判定与性质，还有勾股定理等知识．
计算题；证明题．
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