试题

（2012·沙坪坝区模拟）如图，·ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．
（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；
（2）求证：AF=CD+CF．

（1）解：∵∠D=105°，∠DAF=35°，
∴∠DFA=180°-∠D-∠DAF=40°（三角形内角和定理）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．
∴∠DFA=∠FAB=40°（两直线平行，内错角相等）；
∵∠DFA=2∠BAE（已知），
∴∠FAB=2∠BAE（等量代换）．
即∠FAE+∠BAE=2∠BAE．
∴∠FAE=∠BAE；
∴2∠FAE=40°，
∴∠FAE=20°；

（2）证明：在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．
∵∠FAE=∠BAE，AE=AE，
∴△AEG≌△AEB．
∴EG=BE，∠B=∠AGE；
又∵E为BC中点，∴CE=BE．
∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；
∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．
又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，
∴∠BCF=∠EGF；
又∵∠EGC=∠ECG，
∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC；
又∵AG=AB，AB=CD，
∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．
（1）解：∵∠D=105°，∠DAF=35°，
∴∠DFA=180°-∠D-∠DAF=40°（三角形内角和定理）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．
∴∠DFA=∠FAB=40°（两直线平行，内错角相等）；
∵∠DFA=2∠BAE（已知），
∴∠FAB=2∠BAE（等量代换）．
即∠FAE+∠BAE=2∠BAE．
∴∠FAE=∠BAE；
∴2∠FAE=40°，
∴∠FAE=20°；

（2）证明：在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．
∵∠FAE=∠BAE，AE=AE，
∴△AEG≌△AEB．
∴EG=BE，∠B=∠AGE；
又∵E为BC中点，∴CE=BE．
∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；
∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．
又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，
∴∠BCF=∠EGF；
又∵∠EGC=∠ECG，
∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC；
又∵AG=AB，AB=CD，
∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．