试题

（2013·淮北一模）已知：如图，平行四边形ABCD的顶点D在平行四边形AEFG的边FG上，平行四边形AEFG的顶点E在平行四边形ABCD的边BC上，CD与EF相交于点H，设△ABE、△ECH、△HFD、△DGA的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，给出下列结论：
①平行四边形ABCD的面积=平行四边形AEFG的面积；
②S₁+S₂=S₃+S₄；
③S₃+S₄=平行四边形AEFG面积的一半；
④S₁=S₂+S₃+S₄．
其中正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

解：延长BE，与GF的延长线交于点P．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BP，∠ADG=∠P．
∵四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF，AE∥DP，AG=EF，
∴∠G=∠EFP．
∵AD∥BP，AE∥DP，
∴四边形ADPE是平行四边形．
在△AGD与△EFP中，

∠G=∠EFP ∠ADG=∠P AG=EF

，
∴△AGD≌△EFP（AAS），
∴S₄=S_△EFP，
∴S₄+S_{四边形AEFD}=S_△EFP+S_{四边形AEFD}，
即S_·AEFG=S_·ADPE，
又∵·ADPE与·ADCB的一条边AD重合，且AD边上的高相等，
∴S_·ABCD=S_·ADPE，
∴平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG的面积，①正确；
∵平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG的面积，
∴S₁+S₂+S_{四边形AEHD}=S₃+S₄+S_{四边形AEHD}，
∴S₁+S₂=S₃+S₄，②正确；④错误；
∵△AGD≌△EFP，
∴S₄=S_△EFP，
∴S₃+S_△EFP+S_△EDH=S_△PDE=

1

2

S_·AEPD，
∴S₃+S₄＜

1

2

S_·AEPD，
∵S_·AEPD=S_·ABCD=S_·AEFG，
∴S₃+S₄＜

1

2

S_·AEFG，③错误．
所以正确结论的序号是①②．
故答案为①②．