试题

题目：
青果学院（2013·南岗区一模）如图，平行四边形ABCD中，连接AC，点0为对称中心，点P在AC上，若OP=
5
2
，tan∠DCA=
1
2
，∠ABC=120°，BC=2
3
，则AP=
2
5
或
5
2
5
或
5
．
答案
2
5
或
5

青果学院解：过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，BC=2
3
，
∴∠ADC=∠ABC=120°，AD=BC=2
3
，
∴∠ADE=60°，
∴∠EAD=30°，
∴ED=
1
2
AD=
3
，
∴AE=
AD2-ED2
=3，
∵tan∠DCA=
1
2
，
∴EC=2AE=6，
∴AC=
AE2+EC2
=3
5
，
∴OA=
1
2
AC=
3
2
5
，
若点P在OA上，则AP=OA-OP=
5
；
若点P在OC上，AP=OA+OP=2
5
．
∴AP=
5
或2
5
．
故答案为：
5
或2
5
．
考点梳理
平行四边形的性质．
首先过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，由平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，BC=2
3
，可求得AE的长，又由tan∠DCA=
1
2
，可求得AC的长，然后分别从点P在OA上与点P在OC上去分析求解即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质、三角函数的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
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