试题

如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA．
（1）若AD=4，求DP；（2）△APB是直角三角形吗？说明理由．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠DPA=∠PAB；
又∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB，
∴∠DAP=∠DPA，
∴AD=DP=4，
即DP=4．

（2）△APB是直角三角形，理由如下：
∵AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180°；
又∵AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA
∴∠PAB=

1

2

∠DAB，∠PBA=

1

2

∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=

1

2

（∠ABC+∠DAB）
=

1

2

×180°=90°，
∴△APB是直角三角形．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠DPA=∠PAB；
又∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB，
∴∠DAP=∠DPA，
∴AD=DP=4，
即DP=4．

（2）△APB是直角三角形，理由如下：
∵AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180°；
又∵AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA
∴∠PAB=

1

2

∠DAB，∠PBA=

1

2

∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=

1

2

（∠ABC+∠DAB）
=

1

2

×180°=90°，
∴△APB是直角三角形．