试题

题目：
青果学院如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．
（1）求证：DF=FE；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积．
答案
青果学院（1）证明：延长DC交BE于点M，
∵BE∥AC，AB∥DC，
∴四边形ABMC是平行四边形，
∴CM=AB=DC，C为DM的中点，BE∥AC，
∴CF为△DME的中位线，
∴DF=FE；

（2）解：由（1）得CF是△DME的中位线，故ME=2CF，
又∵AC=2CF，四边形ABMC是平行四边形，
∴BE=2BM=2ME=2AC，
又∵AC⊥DC，
∴在Rt△ADC中，AC=AD·sin∠ADC=
3
2
a，
∴BE=
3
a．

（3）解：可将四边形ABED的面积分为两部分，梯形ABMD和△DME，
在Rt△ADC中：DC=
AD2-AC2
=
a
2
，
∵CF是△DME的中位线，
∴CM=DC=
a
2
，
∵四边形ABMC是平行四边形，
∴AB=MC=
a
2
，BM=AC=
3
2
a，
∴梯形ABMD面积为：(
a
2
+a)×
3
a
2
×
1
2
=
3
3
8
a2；
由AC⊥DC和BE∥AC可证得△DME是直角三角形，
其面积为：
1
2
×
3
a
2
×a=
3
a2
4
，
∴四边形ABED的面积为
3
3
8
a2+
3
a2
4
=
5
3
a2
8
．
青果学院（1）证明：延长DC交BE于点M，
∵BE∥AC，AB∥DC，
∴四边形ABMC是平行四边形，
∴CM=AB=DC，C为DM的中点，BE∥AC，
∴CF为△DME的中位线，
∴DF=FE；

（2）解：由（1）得CF是△DME的中位线，故ME=2CF，
又∵AC=2CF，四边形ABMC是平行四边形，
∴BE=2BM=2ME=2AC，
又∵AC⊥DC，
∴在Rt△ADC中，AC=AD·sin∠ADC=
3
2
a，
∴BE=
3
a．

（3）解：可将四边形ABED的面积分为两部分，梯形ABMD和△DME，
在Rt△ADC中：DC=
AD2-AC2
=
a
2
，
∵CF是△DME的中位线，
∴CM=DC=
a
2
，
∵四边形ABMC是平行四边形，
∴AB=MC=
a
2
，BM=AC=
3
2
a，
∴梯形ABMD面积为：(
a
2
+a)×
3
a
2
×
1
2
=
3
3
8
a2；
由AC⊥DC和BE∥AC可证得△DME是直角三角形，
其面积为：
1
2
×
3
a
2
×a=
3
a2
4
，
∴四边形ABED的面积为
3
3
8
a2+
3
a2
4
=
5
3
a2
8
．
考点梳理
平行四边形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．
（1）可过点C延长DC交BE于M，可得C，F分别为DM，DE的中点；
（2）在直角三角形ADC中利用勾股定理求解即可；
（3）求四边形ABED的面积，可分解为求梯形ABMD与三角形DME的面积，然后求两面积之和即可．
本题结合三角形的有关知识综合考查了平行四边形的性质，解题的关键是理解中位线的定义，会用勾股定理求解直角三角形，会计算一些简单的四边形的面积．
几何综合题．
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