试题

题目：
青果学院在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥BC，G为BD延长线上一点且△ABG为等边三角形，∠BAD、∠CBD的平分线相交于点E，连接AE交BD于F，连接GE．若平行四边形ABCD的面积为9
3
，求AG的长．
答案
解：∵△BGA是等边三角形，
∴AB=AG=BG，∠ABG=∠GAB=∠AGB=60°，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∵BD⊥BC，
∴∠ADB=∠DBC=90°，
∴∠DAB=
1
2
∠GAB=30°，
∴在Rt△ADB中，BD=
1
2
AB，AD=
3
2
AB，
∵S平行四边形ABCD=AD×BD=
3
4
AB2=9
3
，
∴AB=6，
即AG=6．
解：∵△BGA是等边三角形，
∴AB=AG=BG，∠ABG=∠GAB=∠AGB=60°，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∵BD⊥BC，
∴∠ADB=∠DBC=90°，
∴∠DAB=
1
2
∠GAB=30°，
∴在Rt△ADB中，BD=
1
2
AB，AD=
3
2
AB，
∵S平行四边形ABCD=AD×BD=
3
4
AB2=9
3
，
∴AB=6，
即AG=6．
考点梳理
平行四边形的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
根据等边三角形得出AB=AG=BG，∠ABG=∠GAB=∠AGB=60°，求出AD⊥BC，根据等腰三角形性质求出∠DAB=30°，求出BD=
1
2
AB，AD=
3
2
AB，根据平行四边形面积公式求出AB，即可求出答案．
本题考查了平行四边形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形性质等知识点，注意：等边三角形的三边相等，且每个角都等于60°，30度所对的直角边等于斜边的一半．
压轴题．
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