试题

题目:
阅读结论:如图(1)所示,EG、FH为四边形EFCH的对角线,若∠1=∠2,则∠3=∠4,请运用此结论完成下述问题:青果学院
已知:如图(2),点P为平行四边形ABCD内一点,∠5=∠6,求证:∠7=∠8.
答案
青果学院解:过点P作PP′平行且等于AD,连接CP′、DP′,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC(平行四边形的对边平行且相等),
∴AD∥PP′∥BC(平行线的传递性),
∴∠6=∠11,∠8=∠12(两直线平行,内错角相等),四边形APP′D和四边形BCP′P是平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形),
在△APB和△DP′C,
AB=DC
AP=DP′
BP=CP′

∴△APB≌△DP′C(SSS),
∴∠5=∠9,∠7=∠10(全等三角形的对应角相等);
∵∠5=∠6(已知),
∴∠9=∠11(等量代换),
∴∠10=∠12,
∴∠7=∠8(等量代换).
青果学院解:过点P作PP′平行且等于AD,连接CP′、DP′,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC(平行四边形的对边平行且相等),
∴AD∥PP′∥BC(平行线的传递性),
∴∠6=∠11,∠8=∠12(两直线平行,内错角相等),四边形APP′D和四边形BCP′P是平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形),
在△APB和△DP′C,
AB=DC
AP=DP′
BP=CP′

∴△APB≌△DP′C(SSS),
∴∠5=∠9,∠7=∠10(全等三角形的对应角相等);
∵∠5=∠6(已知),
∴∠9=∠11(等量代换),
∴∠10=∠12,
∴∠7=∠8(等量代换).
考点梳理
全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
作辅助线(过点P作PP′平行且等于AD,连接CP′、DP′)构建平行四边形APP′D和全等三角形△APB≌△DP′C,然后利用全等三角形的对应角相等证得∠5=∠9,∠7=∠10;然后结合已知条件、图1中的结论和等量代换可以证得∠7=∠8.
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质.解得此题的关键点是根据图1中的结论,由∠9=∠11得出∠10=∠12的结论.
证明题;阅读型.
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