试题

（2f12·鼓楼区x模）如图，有h、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有k张．其中h型卡片是边长为h的正方形，B型卡片是长为b、宽为h的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从其中取若干张卡片，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）．
尝试操作：若k=1f，请选取适当的卡片拼成一个边长为（2h+b）的正方形，画出示意图．
思考解释：若k=2f，
①共取出5f张卡片，取出的这些卡片能否拼成一个正方形？请简要说明理由；
②可以拼成种不同的正方形．
拓展应用：上述h、B、C型的卡片各若干张（足够多），已知：h=2b，现共取出25ff张卡片，拼成一个正方形，求可以拼成的正方形中面积最大值．（用含h的代数式表示）．

解：尝试操作：如图
       
思考解释：
①假设存在这样的正方形，不妨设这个正方形的边长为（xa+yb），则这个正方形的面积为（xa+yb）^u=x^ua^u+uxyab+y^ub^u，
即此时需要x^u张A卡片，uxy张B卡片，y^u张C卡片，因此总共需要（x^u+uxy+y^u）张卡片，即（x+y）^u张卡片．那么根据题意，（x+y）^u=50，因此不存在这样的x、y满足题意，因此不能从其中取出50张卡片拼成正方形．
②8k；        
对本题给出方法如下：
法一：枚举法如（a+ub）^u、（a+kb）^u；
法二：由①知，令3=（x+y）^u=x^u+uxy+y^u，则3为一个完全平方数，且满足

9≤3≤60 xu≤u0 uxy≤u0 yu≤u0

，
8°3=9时，x+y=u，

x=8 y=8

  8种；
u°3=9时，x+y=k，

x=8 y=u

x=u y=8

 u种；
k°3=86时，x+y=9，

x=8 y=k

x=u y=u

x=k y=8

 k种；
9°3=u5时，x+y=5，

x=8 y=9

x=u y=k

x=k y=u

x=9 y=8

 9种；

5°3=k6时，x+y=6，

x=u y=9

x=k y=k

x=9 y=u

 k种；
6°3=99时，x+y=a，
0种
共8k种．
拓展应用：
（x+y）^u=u500，x+y=50，y=50-x，
边长为：xa+yb=xa+

a

u

（50-x）=（u5+

x

u

）a，
u5+

x

u

随x增大而增大，所以当x=99时最大．
最大面积为：（99a+b）^u=（99b）^u=（

99a

u

）^u．