试题

如图，在·ABCD中，对角线BD⊥AB，G为BD延长线上一点且△CBG为等边三角形，∠BCD、∠ABD的角平分线相交于点E，连接CE交BD于点F，连接GE．
（1）若CG的长为8，求·ABCD的面积；
（2）求证：CE=BE+GE．

（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵AB⊥DB，
∴CD⊥BD，
∵△BGC是等边三角形，
∴BG=BC=CG=8，
∴GD=DB=

1

2

BG=4（三线合一定理），
在Rt△GDC中，由勾股定理得：CD=

82-42

=4

3

，
∴平行四边形ABCD的面积是CD×BD=4

3

×4=16

3

；

（2）证明：∵△BCG为等边三角形，
∴∠GBC=∠BGC=∠GCB=60°，
∵BD⊥DC，
∴∠BCD=30°．
∵EC是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE=15°．
∵BE是∠ABD的平分线，∠ABD=90°，
∴∠EBD=45°，∠EBC=45°+60°=105°．
则∠BEC=180°-105°-15°=60°，
∴∠BEC=∠FBC，
∵∠BCF=∠BCE，
∴△CFB∽△CBE，
∴

EB

EC

=

BF

BC

，
∵∠GCE=60°-15°=45°=∠EBF，∠BFE=∠GFC，
∴△BFE∽△CFG，
∴

EF

BF

=

FG

CF

，
∵∠EFG=∠BFC，
∴△EFG∽△BFC
∴∠GEF=∠CBF=60°，而∠BGC=60°，
∴△CGF∽△CEG，
∴

EG

EC

=

FG

CG

，
∴

EB

EC

+

EG

EC

=

BF

BC

+

FG

CG

，
∵△BCG为等边三角形，
∴BC=CG=BG=BF+FG
∴

EB+EG

EC

=1，
∴CE=BE+GE．
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵AB⊥DB，
∴CD⊥BD，
∵△BGC是等边三角形，
∴BG=BC=CG=8，
∴GD=DB=

1

2

BG=4（三线合一定理），
在Rt△GDC中，由勾股定理得：CD=

82-42

=4

3

，
∴平行四边形ABCD的面积是CD×BD=4

3

×4=16

3

；

（2）证明：∵△BCG为等边三角形，
∴∠GBC=∠BGC=∠GCB=60°，
∵BD⊥DC，
∴∠BCD=30°．
∵EC是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE=15°．
∵BE是∠ABD的平分线，∠ABD=90°，
∴∠EBD=45°，∠EBC=45°+60°=105°．
则∠BEC=180°-105°-15°=60°，
∴∠BEC=∠FBC，
∵∠BCF=∠BCE，
∴△CFB∽△CBE，
∴

EB

EC

=

BF

BC

，
∵∠GCE=60°-15°=45°=∠EBF，∠BFE=∠GFC，
∴△BFE∽△CFG，
∴

EF

BF

=

FG

CF

，
∵∠EFG=∠BFC，
∴△EFG∽△BFC
∴∠GEF=∠CBF=60°，而∠BGC=60°，
∴△CGF∽△CEG，
∴

EG

EC

=

FG

CG

，
∴

EB

EC

+

EG

EC

=

BF

BC

+

FG

CG

，
∵△BCG为等边三角形，
∴BC=CG=BG=BF+FG
∴

EB+EG

EC

=1，
∴CE=BE+GE．