试题

如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
（1）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
（2）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．

解：（1）∵CD=CE，∠BCA=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴∠DEC=∠EDC=∠AEF=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴AB∥DF，
∵EF=AE，∠AEF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFD=60°，
∴BD∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形；

（2）∵四边形ABDF是平行四边形，
∴EF∥AB，且EF≠AB，
∴四边形ABEF是梯形．
过点E作EG⊥AB于点G，
∵BD=2DC，AB=6，
∴AE=BD=EF=4，
∵∠AGE=90°，∠BAC=60°，
∴∠AEG=30°，
∴AG=

1

2

AE=2，
EG=

AE2-AG2

=

42-22

=2

3

，
∴S=

1

2

（4+6）×2

3

=10

3

．
解：（1）∵CD=CE，∠BCA=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴∠DEC=∠EDC=∠AEF=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴AB∥DF，
∵EF=AE，∠AEF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFD=60°，
∴BD∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形；

（2）∵四边形ABDF是平行四边形，
∴EF∥AB，且EF≠AB，
∴四边形ABEF是梯形．
过点E作EG⊥AB于点G，
∵BD=2DC，AB=6，
∴AE=BD=EF=4，
∵∠AGE=90°，∠BAC=60°，
∴∠AEG=30°，
∴AG=

1

2

AE=2，
EG=

AE2-AG2

=

42-22

=2

3

，
∴S=

1

2

（4+6）×2

3

=10

3

．