试题

如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．

解：BD平分EF，理由是：
证法一、连接BE、DF．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中

AB=CD AF=CE

，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BD平分EF；
证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中

AB=CD AF=CE

，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴DE=BF，
∵在△BFG和△DEG中

∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE

，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG=FG，
即BD平分EF．
解：BD平分EF，理由是：
证法一、连接BE、DF．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中

AB=CD AF=CE

，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BD平分EF；
证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中

AB=CD AF=CE

，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴DE=BF，
∵在△BFG和△DEG中

∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE

，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG=FG，
即BD平分EF．