试题

如图，平面直角坐标系中，点A（4，0），直线AB与y轴交于点B，S_△AOB=6，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动．
（1）求B点坐标．
（2）过点B作射线L∥x轴，动点Q从B出发，以每秒2个单位的速度，沿射线L运动．若动点P、Q同时运动，过点A作AC⊥AB，射线AC与射线PQ、射线L分别交于点C、K．设运动时间为t秒，线段KQ的长为y个单位．求y与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若D为BC中点．在点P、Q运动过程中是否存在t值，以A、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵A（4，0），
∴AO=4，设B（0，b），
∴BO=b，
∵S_△AOB=6，
∴

1

2

AO·OB=

1

2

×4b=6，
∴b=3
∴B（0，3）

（2）如图2，∵AK⊥AB，
∴∠BAK=90°，
∴∠BAO+∠KAE=90°
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴△ABO∽△KAE，
∴

OA

KE

=

OB

AE

，
∴

4

3

=

3

AE

，
∴AE=

9

4

，
∴BK=

25

4

．
当点Q在线段BK之间时，KQ=BK-QB，
∴y=

25

4

-2t（0≤t≤

25

8

）．
当点Q在线段BK的延长线上时，KQ=QB-BK，
∴y=2t-

25

4

（

25

8

＜t＜

25

4

）


（3）如图3，当点Q在线段BK之间时，
∵四边形ADQC是平行四边形，
∴DQ∥AC，
∵D为BC中点，
∴BQ=KQ，
∴2t=

1

2

×

25

4

∴t=

25

16

当点Q在线段BK的延长线上时，如图4，作QH⊥OA，
∴QH=3，PH=t-4，AH=2t-4，在Rt△PQH和Rt△AQH中由勾股定理，得
PQ=

(t-4)2+9

，AQ=

(2t-4)2+9

，
∵四边形ADCQ是平行四边形，
∴AD∥CQ，DC=AQ，AD=CQ
∵BQ∥OH，
∴四边形AFQP是平行四边形，
∴AF=PQ=

(t-4)2+9

，
∵D为BC中点，
∴DC=

1

2

BC，
∵∠BAC=90°，
∴AD=

1

2

BC，
∴AD=DC，
∴AD=AQ=CQ，
∴AD=CQ=

(2t-4)2+9

，
∴DF=

(2t-4)2+9

-

(t-4)2+9

．
∵D为BC中点，AD∥CQ，
∴BF=FQ，
∴DF是△BQC的中位线，
∴

DF

CQ

=

1

2

，
∴

(2t-4)2+9 - (t-4)2+9

(2t-4)2+9

=

1

2

，解得：t=

75

16

∴t=

25

16

或 t=

75

16

解：（1）∵A（4，0），
∴AO=4，设B（0，b），
∴BO=b，
∵S_△AOB=6，
∴

1

2

AO·OB=

1

2

×4b=6，
∴b=3
∴B（0，3）

（2）如图2，∵AK⊥AB，
∴∠BAK=90°，
∴∠BAO+∠KAE=90°
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴△ABO∽△KAE，
∴

OA

KE

=

OB

AE

，
∴

4

3

=

3

AE

，
∴AE=

9

4

，
∴BK=

25

4

．
当点Q在线段BK之间时，KQ=BK-QB，
∴y=

25

4

-2t（0≤t≤

25

8

）．
当点Q在线段BK的延长线上时，KQ=QB-BK，
∴y=2t-

25

4

（

25

8

＜t＜

25

4

）


（3）如图3，当点Q在线段BK之间时，
∵四边形ADQC是平行四边形，
∴DQ∥AC，
∵D为BC中点，
∴BQ=KQ，
∴2t=

1

2

×

25

4

∴t=

25

16

当点Q在线段BK的延长线上时，如图4，作QH⊥OA，
∴QH=3，PH=t-4，AH=2t-4，在Rt△PQH和Rt△AQH中由勾股定理，得
PQ=

(t-4)2+9

，AQ=

(2t-4)2+9

，
∵四边形ADCQ是平行四边形，
∴AD∥CQ，DC=AQ，AD=CQ
∵BQ∥OH，
∴四边形AFQP是平行四边形，
∴AF=PQ=

(t-4)2+9

，
∵D为BC中点，
∴DC=

1

2

BC，
∵∠BAC=90°，
∴AD=

1

2

BC，
∴AD=DC，
∴AD=AQ=CQ，
∴AD=CQ=

(2t-4)2+9

，
∴DF=

(2t-4)2+9

-

(t-4)2+9

．
∵D为BC中点，AD∥CQ，
∴BF=FQ，
∴DF是△BQC的中位线，
∴

DF

CQ

=

1

2

，
∴

(2t-4)2+9 - (t-4)2+9

(2t-4)2+9

=

1

2

，解得：t=

75

16

∴t=

25

16

或 t=

75

16