试题

如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．
（1）求证：S_△ABD=S_△ACE；
（2）如图2，AM是△ACE的中线，MA的延长线交BD于N，求证：MN⊥BD．

证明：（1）过B作BM⊥DA于M，过C作CN⊥EA交EA的延长线于N，如图，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=180°，
∵∠CAN+∠CAE=180°，
∴∠BAD=∠CAN
∵sin∠BAD=

BM

AB

，sin∠CAN=

CN

AC

，
又∵AB=AC，
∴BM=CN，
∵DA=AE，
S_△ABD=

1

2

DN×BM，S_△ACE=

1

2

AE×CN，
∴S_△ADB=S_△ACE．

（2）延长AM到Q使AM=QM，连接AQ、EQ，如图，
∵AM是△ACE中线，
∴CM=EM，
∴四边形ACQE是平行四边形，
∴AC=EQ=AB，AE=CQ=AD，AC∥EQ，
∴∠CAE+∠AEQ=180°，
∵∠BAD+∠CAE=180°，
∴∠BAD=∠AEQ，
∵在△BAD和△QEA中

AB=EQ ∠BAD=∠AEQ AD=AE

∴△BAD≌△QEA，
∴∠BDA=∠EAM，
∵∠DAE=90°，
∴∠NAD+∠QAE=90°，
∴∠BDA+∠NAD=90°，
∴∠DNA=180°-90°=90°，
∴MN⊥BD．
证明：（1）过B作BM⊥DA于M，过C作CN⊥EA交EA的延长线于N，如图，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=180°，
∵∠CAN+∠CAE=180°，
∴∠BAD=∠CAN
∵sin∠BAD=

BM

AB

，sin∠CAN=

CN

AC

，
又∵AB=AC，
∴BM=CN，
∵DA=AE，
S_△ABD=

1

2

DN×BM，S_△ACE=

1

2

AE×CN，
∴S_△ADB=S_△ACE．

（2）延长AM到Q使AM=QM，连接AQ、EQ，如图，
∵AM是△ACE中线，
∴CM=EM，
∴四边形ACQE是平行四边形，
∴AC=EQ=AB，AE=CQ=AD，AC∥EQ，
∴∠CAE+∠AEQ=180°，
∵∠BAD+∠CAE=180°，
∴∠BAD=∠AEQ，
∵在△BAD和△QEA中

AB=EQ ∠BAD=∠AEQ AD=AE

∴△BAD≌△QEA，
∴∠BDA=∠EAM，
∵∠DAE=90°，
∴∠NAD+∠QAE=90°，
∴∠BDA+∠NAD=90°，
∴∠DNA=180°-90°=90°，
∴MN⊥BD．