试题

证明：
（1）如图1，△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使CD=BC，点E在边AC上，以CE、CD为邻边作·CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G．连接BG、DE．
①∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由．
②求证：△BCG≌△DCE．
（2）如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
①试说明AC=EF；
②求证：四边形ADFE是平行四边形．

证明：（1）①∠ACB=∠GCD．
理由：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CG∥AB，
∴∠ABC=∠GCD，
∴∠ACB=∠GCD；

②∵四边形CDFE是平行四边形，
∴∠CEG=∠ACB，∠CGE=∠GCD，
∴∠CEG=∠CGE，
∴CE=CG，
∵∠ACB+∠ECG=∠ECG+∠GCD，
即∠BCG=∠ECD，
在△BCG和△DCE中，
∵

BC=DC ∠BCG=∠ECD CG=CE

，
∴△BCG≌△DCE（SAS）；

（2）①∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF=30°
∴AE=2AF，且AB=2AF，
∴AF=CB，
而∠ACB=∠AFE=90°，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵

AF=BC AE=BA

，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；

②由①知道AC=EF，
而△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°
∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，
而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
证明：（1）①∠ACB=∠GCD．
理由：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CG∥AB，
∴∠ABC=∠GCD，
∴∠ACB=∠GCD；

②∵四边形CDFE是平行四边形，
∴∠CEG=∠ACB，∠CGE=∠GCD，
∴∠CEG=∠CGE，
∴CE=CG，
∵∠ACB+∠ECG=∠ECG+∠GCD，
即∠BCG=∠ECD，
在△BCG和△DCE中，
∵

BC=DC ∠BCG=∠ECD CG=CE

，
∴△BCG≌△DCE（SAS）；

（2）①∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF=30°
∴AE=2AF，且AB=2AF，
∴AF=CB，
而∠ACB=∠AFE=90°，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵

AF=BC AE=BA

，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；

②由①知道AC=EF，
而△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°
∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，
而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．