试题

（2010·西城区二模）在△ABC中，点P为BC的中点．

（1）如图1，求证：AP＜

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（AB+AC）；
（2）延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连接DE．
①如图2，连接BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；
②请在图3中证明：BC≥

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DE．

（1）证明：延长AP至H，使得PH=AP，连接BH、HC，PH；
∵BP=PC；
∴四边形ABHC是平行四边形；
∴AB=HC；
在△ACH中，AH＜HC+AC；
∴2AP＜AB+AC；
即AP＜

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2

(AB+AC)

（2）①答：BE=2AP．
证明：过B作BH∥AE交DE于H，连接CH、AH；
∴∠1=∠BAC=60°；
∵DB=AC，AB=CE，
∴AD=AE，
∴△AED是等边三角形，
∴∠D=∠1=∠2=∠AED=60°；
∴△BDH是等边三角形；
∴BD=DH=BH=AC；
∴四边形ABHC是平行四边形；
∵点P是BC的中点，
∴点P是四边形ABHC对角线AH、BC的交点，
∴点A，P，H共线，
∴AH=2AP；
在△ADH和△EDB中，

AD=ED ∠D=∠D DH=DB

；
∴△ADH≌△EDB；
∴AH=BE=2AP；

②证明：分两种情况：
ⅰ）当AB=AC时，
∴AB=AC=DB=CE；
∴BC=

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DE；
ⅱ）当AB≠AC时，
以BD、BC为一组邻边作平行四边形BDGC（如图）
∴DB=GC=AC，∠BAC=∠1，BC=DG，
∵AB=CE；
∴△ABC≌△CEG；
∴BC=EG=DG；
在△DGE中，DG+GE＞DE；
∴2BC＞DE，即BC＞

1

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DE；
综上所述，BC≥

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DE．
（1）证明：延长AP至H，使得PH=AP，连接BH、HC，PH；
∵BP=PC；
∴四边形ABHC是平行四边形；
∴AB=HC；
在△ACH中，AH＜HC+AC；
∴2AP＜AB+AC；
即AP＜

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(AB+AC)

（2）①答：BE=2AP．
证明：过B作BH∥AE交DE于H，连接CH、AH；
∴∠1=∠BAC=60°；
∵DB=AC，AB=CE，
∴AD=AE，
∴△AED是等边三角形，
∴∠D=∠1=∠2=∠AED=60°；
∴△BDH是等边三角形；
∴BD=DH=BH=AC；
∴四边形ABHC是平行四边形；
∵点P是BC的中点，
∴点P是四边形ABHC对角线AH、BC的交点，
∴点A，P，H共线，
∴AH=2AP；
在△ADH和△EDB中，

AD=ED ∠D=∠D DH=DB

；
∴△ADH≌△EDB；
∴AH=BE=2AP；

②证明：分两种情况：
ⅰ）当AB=AC时，
∴AB=AC=DB=CE；
∴BC=

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DE；
ⅱ）当AB≠AC时，
以BD、BC为一组邻边作平行四边形BDGC（如图）
∴DB=GC=AC，∠BAC=∠1，BC=DG，
∵AB=CE；
∴△ABC≌△CEG；
∴BC=EG=DG；
在△DGE中，DG+GE＞DE；
∴2BC＞DE，即BC＞

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DE；
综上所述，BC≥

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DE．