试题

（2007·佛山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，AM=AN，MN∥AC．
（1）求证：MN=AC；
（2）如果把条件“AM=AN”改为“AM⊥AN”，其它条件不变，那么MN=AC不一定成立．如果再改变一个条件，就能使MN=AC成立．请你写出改变的条件并说明理由．

证明：（1）【方法一】如图，连接CM．
在Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，
∴CM=AM．
∴∠MAC=∠MCA．
∵AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM．
∵MN∥AC，
∴∠CAM=∠AMN．
∴∠ACM=∠ANM．
∴∠CMA=∠MAN．
∴AN∥CM．
∴四边形ACMN是平行四边形．
∴MN=AC．
【方法二】如图，连接CM，
证△ACM≌△MNA．
∴MN=AC．
（2）把“M是AB的中点”改为“过C点作AB的垂线，垂足为M点”．
理由是：易知CM∥AN，又MN∥AC，有四边形ACMN是平行四边形．
（注：改“Rt△ABC”为“等腰Rt△ABC”，酌情给分）
证明：（1）【方法一】如图，连接CM．
在Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，
∴CM=AM．
∴∠MAC=∠MCA．
∵AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM．
∵MN∥AC，
∴∠CAM=∠AMN．
∴∠ACM=∠ANM．
∴∠CMA=∠MAN．
∴AN∥CM．
∴四边形ACMN是平行四边形．
∴MN=AC．
【方法二】如图，连接CM，
证△ACM≌△MNA．
∴MN=AC．
（2）把“M是AB的中点”改为“过C点作AB的垂线，垂足为M点”．
理由是：易知CM∥AN，又MN∥AC，有四边形ACMN是平行四边形．
（注：改“Rt△ABC”为“等腰Rt△ABC”，酌情给分）