试题

如图，在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且2b＜a+c，求证：2∠B＜∠A+∠C．

证明：延长BA到D，使AD=BC=a，延长BC到E，使CE=AB=c，连接DE，
这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE=a+c，
∴∠BDE=∠BED，
作DF∥AC，CF∥AD，相交于F，连接EF，则ADFC是平行四边形．
∴CF=AD=BC，
又∠FCE=∠CBA，∴△FCE≌△CBA
∴EF=AC，
于是DE≤DF+EF=2b＜a+c=BD=BE．
这样，在△BDE中，便有∠B＜∠BDE=∠BED
∴∠2B＜∠BDE+∠BED=180°一∠B=∠A+∠C，
即2∠B＜∠A+∠C．
证明：延长BA到D，使AD=BC=a，延长BC到E，使CE=AB=c，连接DE，
这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE=a+c，
∴∠BDE=∠BED，
作DF∥AC，CF∥AD，相交于F，连接EF，则ADFC是平行四边形．
∴CF=AD=BC，
又∠FCE=∠CBA，∴△FCE≌△CBA
∴EF=AC，
于是DE≤DF+EF=2b＜a+c=BD=BE．
这样，在△BDE中，便有∠B＜∠BDE=∠BED
∴∠2B＜∠BDE+∠BED=180°一∠B=∠A+∠C，
即2∠B＜∠A+∠C．