试题
题目：
（2012·随州）设a
2
+2a-1=0，b
4
-2b
2
-1=0，且1-ab
2
≠0，则
(
a
b
2
+
b
2
-3a+1
a
)
5
=
-32
-32
．
答案
-32
解：∵a
2
+2a-1=0，b
4
-2b
2
-1=0，
∴（a
2
+2a-1）-（b
4
-2b
2
-1）=0，
化简之后得到：（a+b
2
）（a-b
2
+2）=0，
若a-b
2
+2=0，即b
2
=a+2，则1-ab
2
=1-a（a+2）=1-a
2
-2a=-（a
2
+2a-1），
∵a
2
+2a-1=0，
∴-（a
2
+2a-1）=0，与题设矛盾
∴a-b
2
+2≠0，
∴a+b
2
=0，即b
2
=-a，
∴
(
a
b
2
+
b
2
-3a+1
a
)
5
=
(
-
a
2
-
a
-3a+1
a
)
5
=-
(
a
2
+2a+2a-1
a
)
5
=-（
2a
a
）
5
=-2
5
=-32．
故答案为-32．
解法二：
∵a
2
+2a-1=0，
∴a≠0，
∴两边都除以-a
2
，得
1
a
2
-
2
a
-1=0
又∵1-ab
2
≠0，
∴b
2
≠
1
a
而已知b
4
-2b
2
-1=0，
∴
1
a
和b
2
是一元二次方程x
2
-2x-1=0的两个不等实根
∴
1
a
+b
2
=2，
1
a
×b
2
=
b
2
a
=-1，
∴（ab
2
+b
2
-3a+1）÷a=b
2
+
b
2
a
-3+
1
a
=（b
2
+
1
a
）+
b
2
a
-3=2-1-3=-2，
∴原式=（-2）
5
=-32．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
因式分解的应用；分式的化简求值．
根据1-ab
2
≠0的题设条件求得b
2
=-a，代入所求的分式化简求值．
本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1-ab2≠0的运用．
压轴题．
找相似题
（2011·南通）设m＞n＞0，m
2
+n
2
=4mn，则
m
2
-
n
2
mn
=（ ）
已知实数m、n满足关系
1
m+n
+
1
m-n
=
n
m
2
-
n
2
，求
2mn+
n
2
m
2
的值．
先能明白（1）小题的解答过程，再解答第（2）小题，
（1）已知a
2
-3a+1=0，求a
2
+
1
a
2
的值．
解：由a
2
-3a+1=0知a≠0，∴a-3+
1
a
=0，即a+
1
a
=3
∴a
2
+
1
a
2
=
(a+
1
a
)
2
-2=7；
（2）已知：y
2
+3y-1=0，求
y
4
y
8
-3
y
4
+1
的值．
先化简，再求值
x
2
+4x+4
x+2
÷(
x
2
+2x)
，其中x=
2
+1．
先化简
(
a
a
2
-3a
-
2a
a
2
-9
)÷
a-2
a
2
+6a+9
，然后从不等式组
2x+3＞x-1
x+8≥4x-1
的解集中选取一个你认为合适的整数作为a的值代入求值．